Научные интересы и достижения А. М. Попова сосредоточены в области математического моделирования плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза, новых информационных технологий на основе нейросетей и генетических алгоритмов для анализа данных, разработки математических моделей для задач нанотехнологий.
А. М. Поповым предложены новые численные подходы к расчёту МГД равновесия и устойчивости плазмы, модель нелинейной эволюции на основе проектирования на неустойчивое многообразие, метод расчёта внутренних диссипативных слоёв для задач с большим магнитным числом Рейнольдса, метод расчёта равновесия плазмы в присутствии ферромагнетика.
Результатом многолетней работы А. М. Попова стало создание численного МГД кода для моделирования нелинейной трёхмерной эволюции плазмы в реальной тороидальной геометрии. Созданный код является одним из лидирующих в мире, он получил широкое признание.
А. М. Попов неоднократно выезжал в США для работы по приглашению ведущих научных организаций (Дженерал Атомикс, Лос-Аламосская Национальная лаборатория, Окриджская Национальная лаборатория, лаборатория физики плазмы Принстонского университета). Участвовал в ежегодных конференциях Американского Физического Общества в области математического моделирования плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза, новых информационных технологий проведения крупномасштабных вычислительных экспериментов и управления активными базами данных на основе нейросетей и генетических алгоритмов.
Большое место А. М. Попов уделяет научно-исследовательским работам в рамках международного сотрудничества с ведущими лабораториями. Вместе с аспирантами А. М. Поповым разработан трёхмерный код на основе метода частиц в ячейке для реалистичного моделирования поведения молекулярных ионов в ловушках масс-спектрометров. Проведено моделирование экспериментов по изучению структуры пептидов в масс-спектрометре по соглашению с институтом молекулярной физики AMOLF в Амстердаме. Важный цикл работ посвящён решению обратных задач локализации активных нейронных источников по данным электроэнцефалографии в рамках сотрудничества с компанией Сименс.
А. М. Попов является членом управляющего комитета соглашения о совместных научных работах между факультетом ВМК и научно-исследовательской лаборатории IBM в Цюрихе.
Появление на факультете супер-ЭВМ Blue Gene/P явилось принципиальным событием для развития математического моделирования в нанотехнологиях. Это позволило перейти к новым, актуальным задачам. Так А. М. Поповым с аспирантами было проведено квантово-механическое моделирование молекулярных нано-переключателей и памяти на фазовых переходах на супер-ЭВМ Blue Gene/P.
За время работы на факультете разработал и прочёл курсы лекций: «Математическое моделирование на ЭВМ», «Численное моделирование нелинейных процессов в плазме», «Вычислительная физика», «Вычислительные нанотехнологии». Вёл занятия по курсам «Математического анализа», «Дифференциальным уравнениям» и «Уравнениям математической физики».
Является научным руководителем спецсеминара кафедры АНИ «Вычислительная физика и современные нанотехнологии».
А. М. Поповым разработан уникальный курс “Вычислительные нанотехнологии”, по которому создано два издания учебного пособия.
В настоящее время руководит 2 аспирантами (Сикало М., Кудайберген К.)
Руководит 1 докторантом (Шумкин Г.)
Подготовил 27 кандидатов наук.